Convergence simple - Convergence point-par-point (suite de fonctions)
Définition
Définition :
On dit que la suite de fonctions \((f_n)\) converge simplement sur \(X\) ou "converge point-par-point" si pour tout point \(X\) si pour tout point \(x\in X\), la limite $$\ell(x)=\lim_n f_n(x)$$ existe
(//Suite convergente)
Si la suite de fonction \((f_n)\) converge simplement sur \(X\), alors l'application \(f:x\mapsto\lim_n f_n(x)\) définit une fonction $$f:X\mapsto{\Bbb R}$$
On dit que \((f_n)\) converge simplement vers la fonction \(f\), telle que $$f(x)=\lim_nf_n(x)$$
(Fonction - Application)
Caractérisation
Critère de Cauchy (Convergence simple)
Proposition :
Pour une suite de fonctions \(f_n:X\to{\Bbb R}\), dire que l'on a une convergence simple vers une fonction \(f:X\to{\Bbb R}\) (i.e. \(f_n(x)\to f(x)\) (\(\forall x\in X\))) revient à dire que l'on a la propriété suivante : $$\forall x\in X,\forall\varepsilon\gt 0,\exists N_{\varepsilon,x},\qquad n\geqslant N_{\varepsilon,x}\implies \lvert f(x)-f_n(x)\rvert\lt \varepsilon$$